首先，我们需要求出弧长公式中的 ds。对于抛物线 y = √(2x^2 - 1)，我们可以使用微积分中的弧长公式：
ds = √(1 + (dy/dx)^2) dx
其中，dy/dx 是 y 对 x 的导数。对于这个抛物线，我们可以求出：
dy/dx = 2x/√(2x^2 - 1)
将其代入弧长公式中，得到：
ds = √(1 + (2x/√(2x^2 - 1))^2) dx
化简后得到：
ds = √(4x^2/(2x^2 - 1)) dx
ds = 2x/√(2x^2 - 1) dx
现在，我们可以将其代入题目中的积分式中：
∫L 12x ds = ∫0^1 12x * 2x/√(2x^2 - 1) dx
我们可以使用代换法，令 u = 2x^2 - 1，du/dx = 4x，dx = du/4x，将其代入上式中得到：
∫L 12x ds = ∫-1^1 (u + 1)/2 du
∫L 12x ds = [u^2/4 + u/2]_-1^1
∫L 12x ds = [(1/4 + 1/2) - (1/4 - 1/2)]
∫L 12x ds = 1
因此，∫L 12x ds = 1。
ds = √(1 + (dy/dx)^2) dx
其中，dy/dx 是 y 对 x 的导数。对于这个抛物线，我们可以求出：
dy/dx = 2x/√(2x^2 - 1)
将其代入弧长公式中，得到：
ds = √(1 + (2x/√(2x^2 - 1))^2) dx
化简后得到：
ds = √(4x^2/(2x^2 - 1)) dx
ds = 2x/√(2x^2 - 1) dx
现在，我们可以将其代入题目中的积分式中：
∫L 12x ds = ∫0^1 12x * 2x/√(2x^2 - 1) dx
我们可以使用代换法，令 u = 2x^2 - 1，du/dx = 4x，dx = du/4x，将其代入上式中得到：
∫L 12x ds = ∫-1^1 (u + 1)/2 du
∫L 12x ds = [u^2/4 + u/2]_-1^1
∫L 12x ds = [(1/4 + 1/2) - (1/4 - 1/2)]
∫L 12x ds = 1
因此，∫L 12x ds = 1。
