计算曲面壳∑: z =（x^2+y^2)^1/2 (0≤z≤1）的质量，其中面密度 p=z^2

根据题意，曲面壳可以表示为参数方程：

x = u
y = v
z = (u^2 * v^2)^1/2

其中，0 ≤ u ≤ 1，0 ≤ v ≤ 1。

接下来，我们需要计算曲面壳的面积元素和面密度，以求出质量。

首先，计算曲面壳的面积元素：

dS = ||ru × rv|| du dv

其中，ru 和 rv 分别表示参数方程对 u 和 v 的偏导数，||ru × rv|| 表示 ru 和 rv 的叉积的模长。

计算 ru 和 rv：

ru = <1, 0, u*v/(u^2 * v^2)^1/2>
rv = <0, 1, u*v/(u^2 * v^2)^1/2>

计算叉积：

ru × rv = <-u*v/(u^2 * v^2), -u*v/(u^2 * v^2), 1>

计算模长：

||ru × rv|| = (u^2 * v^2 + 1)/(u^2 * v^2)

因此，面积元素为：

dS = (u^2 * v^2 + 1)/(u^2 * v^2) du dv

接下来，计算面密度：

p = z^2 = u^2 * v^2

因此，质量可以表示为：

M = ∫∫∑ p dS = ∫∫∑ u^2 * v^2 * (u^2 * v^2 + 1)/(u^2 * v^2) du dv

化简可得：

M = ∫∫∑ (u^2 * v^2 + 1) du dv

根据题意，0 ≤ u ≤ 1，0 ≤ v ≤ 1，因此：

M = ∫0^1 ∫0^1 (u^2 * v^2 + 1) du dv

对 u 积分，得：

M = ∫0^1 (1/3 * v^2 + 1) dv

对 v 积分，得：

M = 4/9

因此，曲面壳的质量为 4/9。