在工程应用中，要从圆柱木材上切出截面为矩形的柱体木料，圆柱体截面是直径为2R的圆，矩形内接于圆，问当矩形的长、宽各取多少尺寸时，此矩形周长最长。（要求用拉格朗日乘数法作

设矩形的长为x，宽为y，则矩形的周长为C=2(x+y)。

由题意可知，矩形内接于圆，即矩形的对角线等于圆的直径，即x²+y²=4R²。

要求矩形周长最长，即要求C的最大值。根据拉格朗日乘数法，设函数f(x,y)=2(x+y)，约束条件为g(x,y)=x²+y²-4R²=0，则有：

∇f(x,y)=λ∇g(x,y)

即：

(2,2)=λ(2x,2y)

解得：

x=y=2λ

代入约束条件g(x,y)=x²+y²-4R²=0中，得：

8λ²=4R²

λ=±√(R²/2)

当λ=√(R²/2)时，x=y=2λ=2R，此时C的值最大，为4√2R。

当λ=-√(R²/2)时，x=y=-2λ=-2R，此时C的值最小，为-8R，不符合实际意义。

因此，当矩形的长和宽均为2R时，矩形的周长最长，为4√2R。